Добрый день! Начну с главного: заключить такой брак в Башкортостане сейчас нельзя. До 2017 года региональное законодательство республики действительно допускало брак до 16 лет без чётко прописанной нижней границы, но эта норма была отменена — абзац о браке лиц младше 16 лет утратил силу согласно Закону Республики Башкортостан от 16.06.2017 № 509-з, и это подтверждается действующей редакцией Семейного кодекса Республики Башкортостан с изменениями на 2024 год.
Сейчас минимальный возраст для вступления в брак в Башкортостане — 16 лет, и то только по разрешению органов местного самоуправления при уважительных причинах (беременность подходит), но не раньше 16.
На вашу девушку это тоже не поможет, так что нужно смотреть другие регионы. По федеральному Семейному кодексу (ст. 13 СК РФ) субъекты РФ вправе своими законами устанавливать более низкий порог для брака до 16 лет при особых обстоятельствах (беременность, рождение ребёнка).
На сегодня такие законы действуют, в частности, в Татарстане, Чечне, Адыгее, Владимирской, Вологодской, Калужской, Магаданской, Московской, Нижегородской, Новгородской, Орловской, Сахалинской, Тамбовской, Тульской, Тюменской областях, Еврейской автономной области, Ханты-Мансийском и Чукотском автономных округах — там минимальный возраст 14 лет; а в Мурманской, Рязанской, Тверской, Челябинской областях, Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии — 15 лет. Обязательно уточняйте актуальность закона именно на момент обращения — как видите на примере Башкортостана, такие нормы регионы регулярно пересматривают и отменяют.
По поводу прописки — да, как правило, регистрация по месту жительства в этом регионе обязательна или как минимум нужно документально подтверждённое фактическое проживание там. Например, в Татарстане закон прямо требует региональную прописку или подтверждённое место жительства в республике для применения нормы о браке с 14 лет. Это логично: разрешение на брак ниже 16 лет выдают местные органы (опека, комитет по делам юстиции) по месту жительства заявителей, а не по месту, где они просто хотят зарегистрировать брак — то есть просто «приехать и подать заявление» в льготном регионе без прописки там обычно не сработает.
Учитывая, что вы прописаны в Иркутской области, а девушка — в Башкортостане, ни один из этих регионов сейчас не подходит. Возможные пути: либо оформить постоянную или временную регистрацию в одном из регионов с льготным порогом заранее (и уже там подавать документы), либо, если до вашего 16-летия остаётся немного времени, просто дождаться — с 16 лет брак по беременности можно заключить в любом регионе РФ по разрешению местной администрации по месту жительства, без всякой региональной специфики.