Договор соц найма?

Нужно ли отдавать оригинал?
По закону и административным регламентам, оригиналы документов обычно предоставляются только для сверки (обозрения). Сотрудник должен убедиться в подлинности, снять копию, заверить её своей подписью и вернуть оригинал вам.

Однако есть исключения:
Если ваша «выписка из распоряжения» является единственным правоустанавливающим документом, подтверждающим ваше право на жилье (в отсутствие ордера и самого договора), ведомство может настаивать на хранении оригинала в архиве «жилищного дела».
Иногда старые документы (выданные 25 лет назад) требуют изъятия при выдаче нового документа (современного договора соцнайма), чтобы исключить дублирование прав.

Должны ли дать расписку?
Да, обязательно. Любая передача оригиналов документов в государственные органы должна фиксироваться документально.

Если вы сдаете документ через МФЦ, вам выдают опись принятых документов.
Если вы приносите документ напрямую в Департамент, требуйте выписку из реестра (расписку) или отметку о принятии на копии этого документа (штамп входящего номера, дата, подпись сотрудника).

Рекомендации:
Сделайте несколько нотариально заверенных копий перед тем, как отдавать оригинал. Нотариальная копия имеет силу оригинала и останется у вас на руках навсегда.
Уточните основание. Спросите сотрудника, на основании какого пункта административного регламента они изымают оригинал. Обычно для «подшивки» достаточно копии, заверенной самим сотрудником при предъявлении вами оригинала.
Не отдавайте документ «в руки» без бумажного подтверждения. Без расписки или описи вы не сможете доказать, что документ был передан, если он потеряется в архивах.