Может ли сотрудник полиции по доверенность забрать ключи от квартиры?

Коротко и по существу.

1) Правоспособность выдавать доверенность.
Наследник вправе выдать доверенность любому дееспособному человеку (включая сотрудника полиции) на представление своих интересов и совершение различных действий, в том числе на получение ключей от квартиры. Доверенность может быть как простая письменная, так и нотариальная — в ряде случаев третьи лица (ЖКХ, УК, ТСЖ, регистрирующие органы и т.п.) требуют именно нотариальную доверенность.

2) Ограничения, о которых нужно знать.
- Служебный статус полицейского. Сотрудник полиции не вправе использовать служебные полномочия для выполнения частных поручений; многие внутренние правила и запреты на сочетание службы и выполнения частной работы могут препятствовать тому, чтобы он действовал в качестве поверенного в служебное время или с использованием формальной силы полиции. Теоретически он может действовать в личном качестве в свободное от службы время, но это нужно уточнять лично.
- Доступ в жилое помещение. Доверенность не даёт право «вламываться» или насильно проникать в квартиру. Если квартира занята третьими лицами (наёмщики, другие наследники, проживающие и т.п.), ключи отнять на основании только доверенности нельзя — для принудительного вселения/выселения/взятия имущества требуется либо согласие проживающих, либо судебное решение/исполнение решения суда с участием судебных приставов. Полиция не имеет права просто по доверенности ломать замки или выселять людей.
- Требования третьих лиц. Управляющие компании, ТСЖ, росреестр, застройщик и т.п. могут настаивать на нотариальной доверенности и на предоставлении комплекта документов (свидетельство о смерти, документ о принятии наследства или свидетельство о праве на наследство/выписка из ЕГРН и т.п.).

3) Практические рекомендации.
- Если нужно просто получить ключи у УК/застройщика/другого законного хранителя — оформите нотариальную доверенность; приложите документы, подтверждающие ваше право на наследство (свидетельство о смерти, свидетельство о праве на наследство/нотариальное свидетельство/выписка из ЕГРН). Нотариальная форма снизит риск отказа.
- Если квартира занята и нужно физически вселиться или сменить замки — сначала получите согласие проживающих или судебное решение; для принудительного исполнения обращайтесь к судебным приставам (не к частному полицейскому).
- Если хотите поручить задачу конкретному человеку, лучше выбрать адвоката, риэлтора или доверенное лицо, а не сотрудника полиции. Если всё же выбираете полицейского — заранее уточните у него (или в органе) возможность и законность выполнения такого частного поручения в личном качестве.

Могу помочь составить текст доверенности или список документов, которые могут потребовать в УК/регистраторе/застройщике — напишите, у кого именно вы будете забирать ключи и в каких обстоятельствах (квартира свободна/занята, у кого сейчас ключи и т.д.).