По закону (Приказ Минобрнауки №455), основанием для академа является заключение врачебной комиссии (ВК) медицинского учреждения. В законе нет прямого запрета на справки из частных клиник, если у этой клиники есть лицензия на осуществление медицинской деятельности.
Если распоряжение поступило 04.04, а ваша справка (первоначальная) была выдана 31.03, то на момент возникновения медицинского основания правила были старыми.
Директор видел справку из частной клиники 6-го числа. Если бы она была недопустима по правилам от 04.04, он обязан был сказать об этом сразу, а не отправлять вас за исправлением опечатки.
Принесите исправленную справку и копию лицензии частной клиники (ее можно скачать с их сайта).
Идите к проректору по учебной работе, если директор института/декан будет стоять на своем. Обычно такие «распоряжения» на уровне ректората можно оспорить, предъявив выписки из больницы (те самые три раза).
Давите на состояние здоровья. У вас есть реальные госпитализации. Вуз не имеет права отчислить студента, который фактически болен и имеет документальное подтверждение из стационаров.
Упомяните жалобу в Минобрнауки. Если дело дойдет до приказа об отчислении, скажите, что будете обжаловать его, так как вуз ограничивает ваше право на образование, создавая требования, противоречащие федеральному приказу №455.