Желательно зафиксировать факт наличия тараканов при участии арендодателя либо третьих (незаинтересованных) лиц (УК, соседи и т.д.). Например, актом осмотра жилого помещения. Также важно какие обязательства стороны прописали в договоре аренды (в каком виде арендатор передаёт помещение). По требованию арендатора договор аренды может быть досрочно расторгнут судом если переданное арендатору имущество имеет препятствующие пользованию им недостатки, которые не были оговорены арендодателем при заключении договора, не были заранее известны арендатору и не должны были быть обнаружены арендатором во время осмотра имущества или проверки его исправности при заключении договора (ст.620 ГК РФ). Если арендодатель не реагирует на Вашу претензию попробуйте с ним ещё раз переговорить, объяснив, что в случае отказа договор будет расторгнут в судебном порядке, а с арендодателя помимо внесённых Вами платежей также будут взысканы сопутствующие судебные расходы. Крайняя мера - подача иска в суд о расторжении договора аренды и возврата уплаченных сумм.