Как?

В российском законодательстве нет прямой нормы, позволяющей взыскать компенсацию с третьего лица, которое способствовало разрушению семьи (например, если супруг или супруга завела отношения с кем-то на стороне). Компенсация морального вреда возможна только в случаях, прямо предусмотренных законом: если третье лицо совершило действия, нарушающие ваши личные неимущественные права или посягающие на принадлежащие вам нематериальные блага, и если эти действия причинили вам нравственные или физические страдания.
Основные моменты:
Компенсация морального вреда возможна, если третье лицо совершило противоправные действия, например, распространение порочащих сведений, угрозы, шантаж, нарушение неприкосновенности частной жизни, либо если имело место преступление (например, вовлечение в половую связь несовершеннолетнего, но не просто адюльтер).
Если третье лицо просто поддерживало отношения с вашим супругом/супругой, но не совершало противоправных действий против вас лично, компенсацию морального вреда взыскать не получится.
Семейное право не предусматривает ответственности третьих лиц за разрушение семьи только на основании личных отношений с вашим супругом/супругой.
Если третье лицо распространяло ложные сведения о вас, угрожало, шантажировало или иным образом нарушало ваши права, можно попытаться взыскать компенсацию морального вреда на основании ст. 151, 152 ГК РФ.
Практика:
В судах России иски о компенсации морального вреда за "разрушение семьи" обычно не удовлетворяются, если нет доказательств противоправных действий третьего лица именно против истца.
Вывод:
Если третье лицо просто поддерживало отношения с вашим супругом/супругой, компенсацию морального вреда взыскать нельзя. Если были противоправные действия против вас (угрозы, клевета, нарушение неприкосновенности частной жизни), можно попробовать взыскать компенсацию морального вреда через суд.