Наследство?

1. Суть ситуации и правовая оценка
Вы не состоите в родстве с умершим, официального завещания нет, есть только написанная им от руки записка о желании передать имущество вам. Вы фактически ухаживали за квартирой, оплачивали коммунальные услуги и взяли на себя расходы по погребению. С момента смерти прошло 3 месяца.

2. Применимые нормы права
Наследование по закону (ст. 1142–1145 ГК РФ) осуществляется только родственниками, а наследование по завещанию (ст. 1118–1125 ГК РФ) возможно, если завещание оформлено надлежащим образом (обязательно нотариально, собственноручно написано и подписано, с указанием даты, удостоверено нотариусом или приравненным к нему лицом).
Принятие наследства возможно путем подачи заявления нотариусу в течение 6 месяцев с даты смерти наследодателя (ст. 1154 ГК РФ). Также допускается фактическое принятие наследства (ст. 1153 ГК РФ), но только лицами, которые имеют право наследовать по закону или по завещанию.

3. Риски, сроки, ответственность, нюансы
- Записка, не удостоверенная нотариусом, не является действительным завещанием (ст. 1124 ГК РФ). Судебная практика крайне редко признает такие документы завещанием, только при наличии исключительных обстоятельств, которых в вашем случае, судя по описанию, нет.
- Как не родственник, вы не являетесь наследником по закону (ст. 1142 ГК РФ).
- Фактическое принятие наследства возможно только теми, кто имеет право наследовать (ст. 1153 ГК РФ).
- Срок для обращения к нотариусу — 6 месяцев с даты смерти. Пропуск срока осложняет ситуацию, но его можно попытаться восстановить через суд при наличии уважительных причин (ст. 1155 ГК РФ).

4. Что делать пошагово
1) Проверьте, не было ли других завещаний или наследников, которые могли бы вступить в наследство.
2) Если прошло менее 6 месяцев с даты смерти — обратитесь к нотариусу по месту открытия наследства (обычно по месту жительства умершего) для официального выяснения круга наследников и наличия завещания.
3) Если срок истек — возможен только судебный порядок восстановления срока, но только для лиц, имеющих право наследовать.
4) Если записка не соответствует требованиям завещания, попытка признать её завещанием через суд маловероятна и сопряжена с большими трудностями.
5) Если вы не являетесь наследником по закону и нет действительного завещания — получить право на квартиру вы не сможете.
6) Если есть уважительные причины для восстановления срока и есть основания считать, что вы фактически приняли наследство (оплата долгов, содержание имущества и пр.), обратитесь к юристу для оценки ваших шансов, но учтите, что это поможет только наследникам по закону или завещанию.

5. Что нужно уточнить
- Есть ли другие наследники (родственники умершего)?
- Точно ли нет другого завещания?
- Когда точно наступила смерть?
- Соответствует ли записка формальным требованиям завещания (дата, подпись, собственноручность, удостоверение)?

Вывод:
В вашей ситуации, если вы не родственник и нет действительного завещания, получить квартиру по наследству невозможно. Записка, не удостоверенная нотариусом, не будет признана завещанием. Фактическое принятие наследства не даёт права на имущество, если вы не наследник по закону или завещанию.

Для точной оценки ситуации и возможных вариантов дальнейших действий рекомендую обратиться к юристу с документами.